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黑板前,徐川看了眼题目思索了几秒钟就直接动手了。
“解:易得x=y=1时满足题意,所以x=y=1为答案,有解,方程有解时,必有x≥y。
若x=y,则x=y=1。
若x>y≥2,则由x^y=y^x-y得1<(x/y)^y=y^x-2y,且y|x。
设x=ky,则k≥3,k^y=y^(k-2)y,所以k=y^k-2。
因y≥2,所以y^k-2≥2^k-2,因k≥5时,y^k-2≥2^k-2>k,所以,k=3,4。
当k=3时,y=3,x=9;当k=4时,y=2,x=8;
故所求所有正整数对(x,y)=(1,1),(9,3),(8,2)。”
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